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要谈坐标系变换,那么坐标系有哪些呢?依次有:物体坐标系,世界坐标系,相机坐标系,投影坐标系以及屏幕坐标系.我要讨论的就是这些坐标系间的转换

这些坐标系不是凭空而来,他们都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现.

计算机3D图形学最最最基本的目标就是:将构建好的3D物体显示在2D屏幕坐标上.

初看好像就是将最初的物体坐标系转换到屏幕坐标系就可以了呀,为什么多出了世界坐标系,相机坐标系,投影坐标 系。这是因为:在一个大世界里有多个物体,而每个物体都有自己的坐标系,如何表述这些物体间相对的关系,这个多出了世界坐标系;如果只需要看到这个世界其 中一部分,这里就多出了相机坐标系;至于投影坐标系那是因为直接将3D坐标转换为屏幕坐标是非常复杂的(因为它们不仅维度不同,度量不同(屏幕坐标一般都 是像素为单位,3D空间中我们可以现实世界的米,厘米为单位),XY的方向也不同,在2D空间时还要进行坐标系变换),所以先将3D坐标降维到2D坐标, 然后2D坐标转换到屏幕坐标

理解3D图形学的第一步:理解左手坐标系与右手坐标系

为什么会有左手坐标系与右手坐标系之分?

在3D空间(没错!就是3D)中,所有2D坐标系是等价的(就是通过一系列的仿射变换,可以互相转换)
而3D坐标系不是等价的,通过仿射变换,是无法将左手坐标系转换到右手坐标系;也就是说,物体坐标系用的就是左手坐标系,世界坐标系用的是右手 坐标系,那么物体可能就是不会是我们所希望的样子了,可能是倒立的,也可能是背对着我们的,所以我们要区分左手坐标系与右手坐标系。也许在4D空间,左右 手坐标系就可以互相变换了吧

进入正题吧:
首先讨论的是物体坐标系->世界坐标系
前面说了为了描述多个物体间相对的关系,这里引进了世界坐标系,所以世界坐标系是个参考坐标系
这一步的目的将所有的物体的点都转移到世界坐标系,这里主要涉及的是旋转,缩放,平移等
不过我将详细说明为何及如何用矩阵来描述这些变换
例:如果有两个坐标系C与C`, C`是C绕Z轴旋转θ得到的。下面是各坐标轴的变换:

如果是C坐标系的点P(x, y, z),而在C`的表示就是

这时该如何建立矩阵呢? 答案就是区分你用的是行向量还是列向量.也许有人会问为什么不区分是左手坐标系还是右手坐标系呢?因为C可以变换到C`,那么他们一定是同在左手坐标系或右手坐标系,变换只能在可以互相转换的坐标系之间进行。
如果你用的是行向量:由于行向量只能左乘矩阵(注意乘与乘以的区别)
所以矩阵形式应该是这样

只有这样,在左乘矩阵时才能得到上面P`的形式

如果你用的是列向量: 由于列向量只能右乘矩阵(注意乘与乘以的区别)
所以矩阵形式应该是这样

只有这样,在右乘矩阵时才能得到上面P`的形式

至于如何旋转,缩放,平移我不在多说

我们再讨论世界坐标系->相机坐标系
引进相机的目的就是只需看到世界的一部分,而哪些是可以在相机里看到的,就需要进行筛选。将物体转换到相机坐标系,这样相机坐标系进行筛选时就会简单很多。这里的重点是构建相机坐标系
物体坐标系,世界坐标系是美工在绘制时就定义好了的。而相机坐标系是需要程序实时构建的。(当然这是通常情况下,如果你要建立一个世界,这个世界都是围绕 你转,要实时改变所有物体坐标系,固定相机坐标系(其实这时候相机坐标系就是世界坐标系),建立一个地心说的世界,我也没办法,你的思维也太不一样了)
如何构建相机坐标系呢?首先我们要明确目标:我们是要构建3D坐标系(好像是废话),三个坐标轴要互相垂直(也好像是废话).
我们一般用UVN相机。例如:D3D的D3DXMatrixLookAtLH,D3DXMatrixLookAtRH,OGL的gluLookAt(右手坐标系).
如何建立呢UVN相机呢? 我们就要利用叉积这个工具了:两个不平行,不重叠的向量的叉积可以得到与这两个向量互相垂直的向量
如果有了相机的位置与目标的位置那么我们可以确定一个Z轴(有人问为什么是Z轴,因为物体的远与近我们就习惯用Z值来表示的)求Z轴时要注意 是左手坐标系还是右手坐标系,左右手坐标系XY轴方向相同时,Z轴的方向相反。所以左手坐标系是目标位置减去相机位置,而右手坐标系则是相机位置减去目标 位置。记得normalize
这是我们要得到X与Y轴了。如何求X,Y轴呢?

一般方法是:
1、选择一个临时Y轴
2、对临时Y 与Z 轴进行叉积求得一个X轴
3、X轴再与Z轴进行叉积,得到一个Y轴
有了XYZ就可以求出旋转的相机矩阵了
如何选择一个Y轴呢?大多数情况下是(0,1,0),但是如果是相机位置E与目标位置T垂直,即(E-T=(0,+/-1,0)时),这时就不能用(0,1,0)了, 因为两个平行向量的叉积是零向量,所以我们就要另选一个Y轴
但是我觉得我们可以改变方法
如果不能选Y轴,我们就选择一个临时X轴,这个临时X轴就是(1,0,0)
然后再对临时X轴与Z轴进行叉积求得一个Y轴
最后Y轴再与Z轴进行叉积,得到X轴
这样可以得到XYZ轴
最后再根据行向量与列向量建立相机矩阵,再进行平移。

相机坐标系->投影坐标系.
投影的目的就是:降维.
两种投影方式:正交投影与透视投影.
在我们TEAM中易颖已经写了,我就不多说了,大家去看他的文章。

投影坐标系->屏幕坐标系
这是最简单的。2D坐标变换。也不多说

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    Choco 回复
    十一 6, 2014 @ 8:42 上午

    好复杂- -#